По какой формуле вычисляется кинетическая энергия тела. Кинетическая и потенциальная энергии

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам - очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите

Кинетическая энергия - скалярная физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Что бы понять, что же такое кинетическая энергия тела, рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v1 до v2.

Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле . Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то , и тогда у нас получается, что работа силы равна А=Fs. По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:

Из это формулы мы выражаем перемещение тела:

Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины . А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.

Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится

Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела

Так же есть:

Потенциальная энергия:

В формуле мы использовали:

Кинетическая энергия

Величина в физике и механике, которая характеризует состояние тела или целой системы тел, находящихся во взаимодействии и движении, называется энергией.

Виды механической энергии

В механике различают энергию двух видов:

Кинетическая. По данным термином подразумевается механическая энергия любого тела, которое движется. Ее измеряют работой, которую могло бы осуществить тело при торможении до состояния полной остановки.
Потенциальная. Это объединенная механическая энергия целой системы тел, которая определяется их расположением и характером сил взаимодействия.

Соответственно, ответ на вопрос о том, как найти энергию механическую, теоретически очень прост. Необходимо: вначале вычислить кинетическую энергию, затем потенциальную и полученные результаты суммировать. Механическая энергия, характеризующая взаимодействие тел между собой, является функцией взаимного расположения и скоростей.

Кинетическая энергия

Поскольку кинетической энергией обладает механическая система, находящаяся в зависимости от скоростей, на которых движутся различные её точки, то она бывает поступательного и вращательного типа. Для измерения энергии используется единица Джоуль (Дж) в системе СИ.

Давайте рассмотрим то, как найти энергию. Формула кинетической энергии:

Ex= mv²/2,
- Ek – это кинетическая энергия, измеряемая в Джоулях;
- m – масса тела (килограммы);
- v–скорость (метр/секунду).

Для определения того, как найти кинетическую энергию для твердого тела, выводят сумму кинетической энергии поступательного и вращательного движения.

Вычисленная таким образом кинетическая энергия тела, которое движется на определенной скорости, демонстрирует работу, которую должна выполнить сила, воздействующая на тело в состоянии покоя, чтобы придать ему скорость.

Потенциальная энергия

Чтобы узнать то, как найти потенциальную энергию следует применить формулу:

Ep = mgh,
- Ep – это потенциальная энергия, измеряемая в Джоулях;
- g - ускорение свободного падения (квадратных метрах);
- m– масса тела (килограммы);
- h - высота центра масс тела над произвольным уровнем (метры).

Поскольку для потенциальной энергии характерно взаимное влияние друг на друга двух и больше тел, а также тела и любого поля, то любая физическая система стремится найти положение, в котором потенциальная энергия будет наименьшей, а в идеале нулевой. потенциальной энергией. Следует помнить о том, что для кинетической энергии характерна скорость, а потенциальной - взаиморасположение тел.

Теперь вы знаете все о том, как найти энергию и ее значение по формулам физики.

Кинетическая-энергия-тела

Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле

Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то

И тогда у нас получается, что работа силы равна

По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:

Из это формулы мы выражаем перемещение тела:

Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины

А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина

представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.

Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится

Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела

Так же есть:

Потенциальная энергия.

Способность или возможность физических тел производить работу характеризуется базовым для всех разделов физики понятием, которое называется энергией. В зависимости от первоначального источника различают разные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную, гравитационную, химическую. Механическая энергия бывает двух видов: потенциальная и кинетическая. Кинетическая энергия присуща только движущимся телам. Можно ли тогда говорить о кинетической энергии покоя?

Чему равна кинетическая энергия

Вспомним как вычисляется кинетическая энергия. Если на тело массы m действует сила F , то его скорость v начнет изменяться. При перемещении тела на расстояние s , будет совершена работа A :

$ A = F * s $ (1)

По второму закону Ньютона сила равна:

$ F = m * a $ (2)

где a — ускорение.

Из известных формул, полученных в разделе механики, следует, что модуль смещения s при равноускоренном прямолинейном движении связан с модулями конечной v 2 , начальной v 1 скоростей и ускорения a следующей формулой;

$ s = {{v_2^2-v_1^2}\over {2*a}} $ (3)

Тогда можно получить формулу для вычисления работы:

$ A = F * s = m * a * {{v_2^2 – v_1^2}\over 2*a} = {m * v_2^2\over 2} -{m*v_1^2\over 2} $ (4)

Величина, равная произведению массы тела m на квадрат его скорости, деленный пополам называется кинетической энергией тела E k :

$ E_k = {m * v^2\over 2} $ (5)

Из формул (4) и (5) следует, что работа A равна:

$ A = E_{k2} – E_{k1} $ (6)

Таким образом, работа, совершенная силой, приложенной к телу оказалась равна изменению кинетической энергии тела. Значит любое физическое тело движущееся с ненулевой скоростью, обладает кинетической энергией. Следовательно, в состоянии покоя, при скорости v равной нулю и кинетическая энергия покоя будет также равна нулю.

Рис. 1. Примеры кинетической энергии:.

Неподвижное тело и температура

Любое физическое тело состоит из атомов и молекул, которые находятся в состоянии непрерывного хаотического движения при температуре T , не равной нулю. С помощью молекулярно-кинетической теории доказано, что средняя кинетическая энергии Е к хаотического движения молекул зависит только от температуры. Так для одноатомного газа эта связь выражается формулой:

$ Е_к = { 3 \over 2} * k * T $ (7)

где: k = 1,38*10 -23 Дж/К — постоянная Больцмана.

Таким образом, когда тело как целое покоится, каждая молекулы и атомы, из которых оно состоит, тем не менее могут иметь ненулевую кинетическую энергию.

Рис. 2. Хаотическое движение молекул в газе, жидкости, твердом теле:.

Температура абсолютного нуля естественно равна 0 0 К или -273,15 0 С. Ученые, работающие в этой области, стремятся охладить вещество до этого значения температуры с целью получения новых знаний. Пока рекордно низкая температура, полученная в лабораторных условиях выше абсолютного нуля всего на 5,9*10 -12 К. Для достижения таких значений используются лазеры и магнитное охлаждение.

Энергия покоя

Формула (5) для кинетической энергии справедлива для скоростей много меньших скорости света с , которая равна 300000 км/с. Альберт Эйнштейн (1879-1955г.г.) создал специальную теорию относительности, в которой кинетическая энергия Е к частицы массой m 0 , движущейся со скоростью v , есть:

$ Е_к = m_0 * с^2\over \sqrt{1 – {v^2\over c^2}} – m_0 * с^2 $ (8)

При скорости v много меньше скорости света с (v << c ) формула (8) переходит в классический вид, т.е. в формулу (5).

При v = 0 кинетическая энергия будет тоже равна нулю. Однако полная энергия Е 0 будет равна:

$ E_0 = m_0 * с^2 $ (9)

Выражение $m_0*с^2$ называется энергией покоя. Существование не равной нулю энергии у покоящегося тела означает, что физическое тело обладает энергией благодаря своему существованию.

Рис. 3. Портрет Альберта Эйнштейна:.

По Эйнштейну — сумма энергии покоя (9) и кинетической энергии (8) дает полную энергию частицы E п :

$ Eп = m_0 * с^2\over \sqrt{1 – v^2\over c^2} = m * c^2 $ (10)

Формула (10) показывает связь между массой тела его энергией. Оказывается, изменение массы тела приводит к изменению его энергии.

Что мы узнали?

Итак, мы узнали, что кинетическая энергия покоя обычного физического тела (или частицы) равна нулю, т.к. его скорость равна нулю. Кинетическая энергия частиц, из которых состоит покоящегося тело будет отлична от нуля, если его абсолютная температура не равна нулю. Отдельной формулы кинетической энергии покоя не существует. Для определения энергии покоящегося тела допустимо использование выражений (7) – (9), имея в виду, что это внутренняя энергия частиц, составляющих тело.

Тест по теме

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.2 . Всего получено оценок: 39.

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J - момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

dA = dE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна

(3.25)

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν 0 =720 мин -1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.

Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения

где I=mr 2 – момент инерции диска; Δω =ω - ω 0 , причём ω =0 конечная угловая скорость, ω 0 =2πν 0 - начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.

Зная все величины, можно определить тормозящий момент

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле

(3)

где β–угловое ускорение.

По условию задачи: ω =ω 0 – βΔt, так как ω=0, ω 0 = βΔt

Тогда выражение (2) может быть записано в виде:

Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n = 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N = 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.

Момент сил терния М 1 первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

где Δt – время действия момента сил трения, I=mr 2 - момент инерции маховика, ω 1 = 2πν и ω 2 = 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков

Тогда

Момент сил трения М 2 второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔE к:

где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.

Тогда, откуда

Отношение будет равно

Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.

Пример 2.3. Масса однородного сплошного диска m, массы грузов m 1 и m 2 (рис.15). Скольжения и трения нити в оси цилиндра нет. Найти ускорение грузов и отношение натяжений нити в процессе движения.

Проскальзывания нити нет, поэтому, когда m 1 и m 2 будут совершать поступательное движение, цилиндр будет совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О. Положим для определённости, что m 2 > m 1 .

Тогда груз m 2 опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему

Первые два уравнения записаны для тел с массами m 1 и m 2 , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T 1 взят со знаком минус, так как сила T 1 стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I - момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен

где R - радиус цилиндра; β - угловое ускорение цилиндра.

Так как проскальзывания нити нет, то
. С учётом выражений для I и β получим:

Складывая уравнения системы, приходим к уравнению

Отсюда находим ускорение a грузов

Из полученного уравнения видно, что натяжения нитей будут одинаковы, т.е. =1, если масса цилиндра будет гораздо меньше массы грузов.

Пример 2.4. Полый шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В определённый момент на шар начинает действовать сила, в результате чего угол поворота шара изменяется по закону
. Определить момент приложенной силы.

Решаем задачу, используя основное уравнение динамики вращательного движения
. Основная трудность – определить момент инерции полого шара, а угловое ускорение β находим как
. Момент инерции I полого шара равен разности моментов инерции шара радиуса R и шара радиуса r:

где ρ - плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара

Отсюда определим плотность материала шара

Для момента силы M получаем следующее выражение:

Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.

Используем закон сохранения момента импульса

(1)

(J i -момент инерции стержня относительно оси вращения).

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

J 0 = mℓ 2 /12. (3)

По теореме Штейнера

J =J 0 +mа 2

(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).

Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

J 2 =J 0 +mа 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

Подставим формулы (3) и (4) в (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10с-1/4=2,5с -1

Пример 2.6 . Человек массой m =60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν 1 =12мин -1 , переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν 2 будет тогда вращаться платформа.

Дано: m=60кг, М=120кг, ν 1 =12мин -1 = 0,2с -1 .

Найти: ν 1

Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

где
- момент инерции системы, когда человек стоит на краю платформы (учли, что момент инерции платформы, равен(R – радиус п
латформы), момент инерции человека на краю платформы равенmR 2).

- момент инерции системы, когда человек стоит в центре платформы (учли, что момент человека, стоящего в центре платформы, равен нулю). Угловая скорость ω 1 = 2π ν 1 и ω 1 = 2π ν 2 .

Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем

откуда искомая частота вращения

Ответ : ν 2 =24мин -1 .